Calcular los efectos del ángulo de incidencia (AOI) y del semiángulo del cono es fundamental al trabajar con filtros ópticos, ya que los recubrimientos de película delgada son sensibles al trayecto físico que recorre la luz a través de las capas.
En general, al aumentar el ángulo de incidencia, aumenta la longitud del trayecto interno, lo que desplaza el espectro de transmisión hacia longitudes de onda más cortas. Este fenómeno se conoce comúnmente como «desplazamiento al azul».
1. Cálculo del desplazamiento al azul (AOI)
Para un haz colimado, en el que todos los rayos de luz son paralelos, que incide sobre un filtro con un ángulo específico, la longitud de onda central desplazada puede estimarse mediante esta fórmula:
Wavelength_shifted = Wavelength_0 * sqrt(1 - (sin(theta) / n_effective)^2)
Donde:
- Wavelength_0: La longitud de onda central con incidencia normal (0 grados).
- theta: El ángulo de incidencia en el aire.
- n_effective: El índice de refracción efectivo de la estructura de capas delgadas. (Suele estar comprendido entre 1.45 y 2.1, según los materiales utilizados en el recubrimiento).
Nota: neffective es una aproximación. En el modelado óptico de alta precisión, el desplazamiento se calcula por separado para la polarización s y la polarización p, ya que se desplazan a velocidades diferentes, lo que suele producir una separación de polarización.
2. Incorporación del semiángulo del cono
En muchos sistemas reales, como los que incorporan lentes o fibra óptica, la luz no está perfectamente colimada. En su lugar, llega en forma de cono. El «ángulo de semicono» (alpha) define la dispersión angular de este haz.
Para calcular el espectro resultante de un cono de luz, se debe integrar la respuesta a ondas planas sobre el ángulo sólido de dicho cono.
La transmisión media resultante (T_avg) se calcula de la siguiente manera:
T_avg = (1 / (1 - cos(alpha))) * integral desde 0 hasta alpha de [T(longitud de onda, theta) * sin(theta) d(theta)]
Como un cono contiene un intervalo de ángulos, este proceso no solo desplaza el pico. También ensancha considerablemente las características espectrales y reduce la transmisión máxima, ya que los distintos rayos se desplazan en diferente medida.
3. Comparación de los efectos
| Característica | AOI (colimado) | Semiángulo del cono (convergente/divergente) |
| Desplazamiento espectral | Desplazamiento predecible hacia el azul de toda la curva. | Desplazamiento hacia el azul del «centro», pero con ensanchamiento. |
| Cambio de forma | Mantiene la forma (en su mayor parte). | Amplía la FWHM y «redondea» la parte superior plana. |
| Transmisión máxima | Permanece relativamente constante. | Disminuye a medida que la luz se «dispersa» entre distintas longitudes de onda. |
4. Ejemplo práctico
Para ilustrar su funcionamiento, veamos paso a paso un cálculo para un filtro de paso de banda estrecha típico.
El escenario
Supongamos que tiene un filtro diseñado para 656 nm (la línea H-alfa), con un índice de refracción efectivo (n_eff) de 2.0. Inclina el filtro hasta un ángulo de incidencia (AOI) de 10 grados.
Paso 1: calcular el desplazamiento por AOI
Utilizando la fórmula para un haz colimado: Wavelength_shifted = 656 * sqrt(1 - (sin(10) / 2.0)^2)
- sin(10) es aproximadamente 0.1736.
- 0.1736 / 2.0 = 0.0868.
- Al elevarlo al cuadrado se obtiene 0.00753.
- sqrt(1 - 0.00753) = sqrt(0.99247), que es aproximadamente 0.9962.
- 656 * 0.9962 = 653.5 nm.
Resultado: Con solo inclinar el filtro 10 grados, la longitud de onda central se ha desplazado 2.5 nm hacia el azul.
Paso 2: consideración del semiángulo del cono
Supongamos ahora que este filtro no solo está inclinado, sino que se coloca en un haz de luz convergente con un semiángulo de cono de 5 grados.
En lugar de un único desplazamiento a 653.5 nm, el filtro recibe ahora un «intervalo» de ángulos desde 5 grados hasta 15 grados (si el centro del cono se encuentra a un AOI de 10 grados).
- A 5 grados: El desplazamiento es muy pequeño (~0.6 nm).
- A 15 grados: El desplazamiento es mucho mayor (~5.6 nm).
El efecto combinado: La curva de transmisión resultante es la «integral» o el promedio de todos estos desplazamientos. Como entra más luz en los ángulos más pronunciados del borde exterior del cono, el pico del filtro:
- Difuminación: Los bordes «abruptos» de la banda de paso se redondean.
- Disminución de la intensidad: Como la energía luminosa ahora se distribuye en un intervalo más amplio de longitudes de onda (de 650 nm a 655 nm), disminuye el porcentaje máximo de transmisión en cada longitud de onda individual.
Lista de comprobación para los cálculos
- Identificar n_eff: Consulte la ficha técnica del fabricante. Los materiales de índice alto (como el silicio) presentan un desplazamiento menor que los materiales de índice bajo (como la criolita).
- Defina el perfil del haz: ¿Es un láser (colimado) o está detrás de una lente (cono)?
- Compruebe la polarización: Si el AOI es superior a 20 grados, debe calcular por separado las polarizaciones «S» y «P», ya que el filtro comenzará a mostrar dos picos distintos.
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