入射角（AOI）と半円錐角が透過スペクトルに与える影響はどのように計算できますか？

光学フィルターを扱う際は、入射角（AOI）と半円錐角の影響を計算することが重要です。薄膜コーティングは、光が各層を通過する物理的な光路の影響を受けるためです。

一般に、入射角が大きくなると内部光路長が増加し、透過スペクトルが短波長側にシフトします。これは一般に「ブルーシフト」と呼ばれます。

1. ブルーシフトの計算（AOI）

すべての光線が平行なコリメート光が特定の角度でフィルターに入射する場合、シフト後の中心波長は次の式で推定できます：

Wavelength_shifted = Wavelength_0 * sqrt(1 - (sin(theta) / n_effective)^2)

ここで：

• Wavelength_0：垂直入射（0度）時の中心波長。
• theta：空気中での入射角。
• n_effective：薄膜積層の実効屈折率。（通常、コーティングに使用される材料に応じて1.45から2.1の範囲になります）。

注：neffective は近似値です。高精度な光学モデリングでは、s偏光とp偏光でシフト率が異なり、偏光分離が生じることが多いため、それぞれのシフトを個別に計算します。

2. 半円錐角の組み込み

レンズや光ファイバーを使用する多くの実際のシステムでは、光は完全なコリメート光ではなく、円錐状に入射します。「半円錐角」（alpha）は、この光束の角度広がりを表します。

光束円錐の合成スペクトルを計算するには、その円錐の立体角にわたって平面波応答を積分する必要があります。

得られる平均透過率 (T_avg) は次のように計算されます：

T_avg = (1 / (1 - cos(alpha))) * 0からalphaまでの[T(波長, theta) * sin(theta) d(theta)]の積分

光円錐には一定範囲の角度が含まれるため、この過程ではピークがシフトするだけではありません。各光線のシフト量が異なることで、スペクトル特性が大幅に広がり、ピーク透過率も低下します。

3. 影響の比較

4. 実例

この仕組みを説明するため、一般的な狭帯域バンドパスフィルターを例に計算してみましょう。

想定状況

656 nm（Hα線）用に設計され、有効屈折率（n_eff）が2.0のフィルターを想定します。このフィルターを入射角（AOI）10度まで傾けます。

ステップ1：AOIシフトを計算する

コリメート光用の式を使用します：Wavelength_shifted = 656 * sqrt(1 - (sin(10) / 2.0)^2)

• sin(10)は約0.1736です。
• 0.1736 / 2.0 = 0.0868.
• これを二乗すると 0.00753 になります。
• sqrt(1 - 0.00753) = sqrt(0.99247)で、これは約0.9962です。
• 656 * 0.9962 = 653.5 nm.

結果： フィルターを 10 度傾けるだけで、中心波長が 2.5 nm「青色」側にシフトしました。

ステップ2：半頂角の考慮

ここで、このフィルターが単に傾いているだけでなく、半円錐角が5度の収束光束内に配置されているとします。

653.5 nmへの単一のシフトではなく、フィルターには5度から15度までの角度の「範囲」が入射するようになります（光錐の中心がAOI 10度にある場合）。

• 5度の場合：シフトはごくわずかです（~0.6 nm）。
• 15度の場合: シフトははるかに大きくなります（~5.6 nm）。

複合効果： 結果として得られる透過曲線は、これらすべてのシフトの「積分」または平均です。円錐の外縁にある、より大きな角度から多くの光が入射するため、フィルターのピークは次のようになります：

• なまり: バンドパスの「急峻な」エッジが丸くなります。
• 強度の低下： 光エネルギーがより広い波長範囲（650 nm～655 nm）に分散するため、各波長における最大透過率が低下します。

計算用チェックリストのまとめ

• n_effの特定： メーカーのデータシートを確認してください。高屈折率材料（シリコンなど）は、低屈折率材料（氷晶石など）よりもシフトが小さくなります。
• ビームプロファイルを定義： レーザー（コリメート光）ですか、それともレンズ後方の光（円錐光）ですか？
• 偏光の確認: AOIが20度を超える場合、フィルターに2つの異なるピークが現れ始めるため、「S」偏光と「P」偏光を個別に計算する必要があります。