Die Berechnung der Auswirkungen des Einfallswinkels (AOI) und des halben Kegelwinkels ist bei der Arbeit mit optischen Filtern entscheidend, da Dünnschichtbeschichtungen empfindlich auf den physikalischen Weg reagieren, den das Licht durch die Schichten zurücklegt.
Im Allgemeinen nimmt mit steigendem Einfallswinkel die interne Weglänge zu, wodurch sich das Transmissionsspektrum zu kürzeren Wellenlängen verschiebt. Dies wird allgemein als „Blauverschiebung“ bezeichnet.
1. Berechnung der Blauverschiebung (AOI)
Für einen kollimierten Strahl, bei dem alle Lichtstrahlen parallel verlaufen und der in einem bestimmten Winkel auf einen Filter trifft, lässt sich die verschobene Mittenwellenlänge mit dieser Formel abschätzen:
Wavelength_shifted = Wavelength_0 * sqrt(1 - (sin(theta) / n_effective)^2)
Dabei gilt:
- Wavelength_0: Die zentrale Wellenlänge bei senkrechtem Einfall (0 Grad).
- theta: Der Einfallswinkel in Luft.
- n_effective: Der effektive Brechungsindex des Dünnschichtstapels. (Dieser liegt je nach den für die Beschichtung verwendeten Materialien üblicherweise zwischen 1.45 und 2.1).
Hinweis: neffective ist eine Näherung. Bei hochpräzisen optischen Modellierungen wird die Verschiebung für s-Polarisation und p-Polarisation getrennt berechnet, da sie sich mit unterschiedlichen Raten verschieben, was häufig zu einer Polarisationsaufspaltung führt.
2. Einbeziehung des Halbkegelwinkels
In vielen realen Systemen, etwa solchen mit Linsen oder Faseroptik, ist das Licht nicht perfekt kollimiert. Stattdessen trifft es kegelförmig auf. Der „Halbkegelwinkel“ (alpha) definiert die Winkeldivergenz dieses Strahls.
Zur Berechnung des resultierenden Spektrums eines Lichtkegels muss die Antwort auf ebene Wellen über den Raumwinkel dieses Kegels integriert werden.
Die resultierende mittlere Transmission (T_avg) wird wie folgt berechnet:
T_avg = (1 / (1 - cos(alpha))) * Integral von 0 bis alpha von [T(Wellenlänge, theta) * sin(theta) d(theta)]
Da ein Lichtkegel einen Winkelbereich umfasst, verschiebt dieser Prozess nicht nur das Maximum. Er verbreitert auch die spektralen Merkmale deutlich und verringert die maximale Transmission, da die einzelnen Strahlen unterschiedlich stark verschoben werden.
3. Vergleich der Auswirkungen
| Merkmal | AOI (kollimiert) | Halber Kegelwinkel (konvergent/divergent) |
| Spektrale Verschiebung | Vorhersagbare Blauverschiebung der gesamten Kurve. | Blauverschiebung des „Zentrums“, jedoch mit Verbreiterung. |
| Formänderung | Behält die Form bei (weitgehend). | Verbreitert die FWHM und „rundet“ das flache Maximum ab. |
| Spitzentransmission | Bleibt relativ konstant. | Nimmt ab, da das Licht über verschiedene Wellenlängen „verschmiert“ wird. |
4. Praxisbeispiel
Zur Veranschaulichung der Funktionsweise betrachten wir eine Berechnung für einen typischen Schmalbandpassfilter.
Das Szenario
Angenommen, Sie haben einen Filter, der für 656 nm (die H-alpha-Linie) ausgelegt ist und einen effektiven Brechungsindex (n_eff) von 2.0 aufweist. Sie neigen den Filter auf einen Einfallswinkel (AOI) von 10 Grad.
Schritt 1: AOI-Verschiebung berechnen
Unter Verwendung der Formel für einen kollimierten Strahl: Wavelength_shifted = 656 * sqrt(1 - (sin(10) / 2.0)^2)
- sin(10) beträgt näherungsweise 0.1736.
- 0.1736 / 2.0 = 0.0868.
- Quadriert ergibt dies 0.00753.
- sqrt(1 - 0.00753) = sqrt(0.99247), was ungefähr 0.9962 entspricht.
- 656 * 0.9962 = 653.5 nm.
Ergebnis: Allein durch das Neigen des Filters um 10 Grad hat sich Ihre Mittenwellenlänge um 2.5 nm ins „Blaue“ verschoben.
Schritt 2: Berücksichtigung des Halbkegelwinkels
Nehmen wir nun an, dass dieser Filter nicht nur geneigt ist, sondern sich in einem konvergierenden Lichtstrahl mit einem Halbkegelwinkel von 5 Grad befindet.
Statt einer einzigen Verschiebung auf 653.5 nm trifft nun ein „Bereich“ von Winkeln von 5 Grad bis 15 Grad auf den Filter (wenn die Mitte des Kegels bei einem AOI von 10 Grad liegt).
- Bei 5 Grad: Die Verschiebung ist sehr gering (~0.6 nm).
- Bei 15 Grad: Die Verschiebung ist wesentlich größer (~5.6 nm).
Der kombinierte Effekt: Die resultierende Transmissionskurve ist das „Integral“ beziehungsweise der Mittelwert all dieser Verschiebungen. Da an den steileren Winkeln am Außenrand des Kegels mehr Licht einfällt, wird der Peak Ihres Filters:
- Verschmierung: Die „scharfen“ Flanken des Bandpasses werden abgerundet.
- Intensitätsabnahme: Da die Lichtenergie nun über einen breiteren Wellenlängenbereich (650 nm bis 655 nm) verteilt ist, nimmt der maximale Transmissionsgrad bei jeder einzelnen Wellenlänge ab.
Zusammenfassende Checkliste für Berechnungen
- n_eff bestimmen: Prüfen Sie das Datenblatt des Herstellers. Materialien mit hohem Brechungsindex (wie Silizium) verschieben sich weniger als Materialien mit niedrigem Brechungsindex (wie Kryolith).
- Strahlprofil definieren: Handelt es sich um einen Laser (kollimiert) oder befindet sich der Strahl hinter einer Linse (konisch)?
- Polarisation prüfen: Wenn Ihr AOI größer als 20 Grad ist, müssen Sie die „S“- und „P“-Polarisation getrennt berechnen, da der Filter zwei unterschiedliche Peaks aufzuweisen beginnt.
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